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小学数学 人教版、北师大版1-6年级数学上册知识点汇总

作者: (古诗文网)        2019-01-12 20:43

 

第一部分北师大版1-6年级数学上册知识点汇总

北师大版一年级数学上册

知识点汇总

 

第一单元

 

(3)先读11、12、13、14、15、16、17、18、19、20,再写出来。

如:14,读作:十四,写作:14。个位上是4,表示4个一,十位上数字是1,表示1个十。

2. 数的组成

数位顺序表:从右边起,第一位是个数,第二位是十数

一个数字所在的位置不同,所表示的意思也就不一样。

 

3、例如给数字娃娃排队:5、6、10、3、20、17,可以按从大到小的顺序排列,也可以按从小到大的顺序排列。

(注意做题时,写一个数字,划去一个,做到不重不漏。)

4、任意取20以内的两个数,能够用谁比谁大或谁比谁小说一句话。

如:16比15大,写出来就是16>15

9比13小,写出来就是9<13

5、“比”字的用法

看“比”字的后面是谁,比几大1就要在几的基础上加1,比几小1就要在几的基础上减1。

如:比5小2的数是(3),比4多3的数是(7)。

6、几和第几

△▲▲★△☆☆△△△▲★★★☆★

观察图,说说有几个图形?(16个图形)从左数第几位是什么?从右数第几位是什么?把左边三个圈起来;把右边第2个圈起来。

(复习此类知识时,分清左右,同时确定方向;知道几个和第几个的区别。)

7、相邻数

2的前面是1,2的后面是3,2再添上1就是3,3再去掉1就是2,与2相邻的数是1和3。

3的前面是2,3的后面是4,3再添上1就是4,4再去掉1就是3,与3相邻的数是2和4。

20的前面是19,20的后面是21,,与20相邻的数是19和21。

第二单元

 

第三单元

把两个数合并在一起用加法。加数+加数=和

如:3+13=16中,3和13是加数,和是16。

从一个数里面去掉一部分求剩下的是多少用减法。被减数-减数=差

如:19-6=13中,19是被减数,6是减数,差是13。

(一)熟记表内加法和减法的得数

(二)知道以下规律

1、加法

(1)两个数相加,保持得数不变:如果相加的这两个数有一个增大了,则另一个数就要减小,且一个数增大了多少,另一个数就要减少多少。

(2)两个数相加,其中的一个数不变,如果另一个数变化则得数也会发生变化,且加数变化了多少,结果就变化多少。

(3)两个数相加,交换它们的位置,得数不变。

2、减法

(1)一个数减去另一个数,保持减数不变:如果被减数增大,结果也增大且被减数增大多少,结果就增大多少;被减数减小,则结果也减小,且被减数减小多少,结果也减小多少。

(2)一个数减另一个数,保持被减数不变:如果减数增大,结果就减小,且减数增大了多少,结果就减小多少;如果减数减小,则结果增大,且减数减小了多少,结果就增大多少。

(3)一个数减另一个数,保持的数不变:被减数增大多少,减数就要增大多少;被减数减小多少,减数也要减小多少。

(三)整 理 与 复 习10以内的加减法

 

第四单元

 

第五单元

                          1.前后---(前后的位置关系)

       位置与顺序       2.上下---(上下的位置关系)

                          3.左右---(左右的位置关系)

                          4.教室---(前后、上下、左右综合应用)

前后(前后的位置关系):

1.注意用前、后等词语描述物体的顺序与描述物体的准确位置两者之间的区别。

2.鹿在最前面,谁在它的后面?这个答案不唯一,不仅仅有一个松鼠,还有兔子、乌龟和蜗

牛都在鹿的后面。

3.注意让学生会用前、后等词语描述物体的相对位置。

上下(上下的位置关系):

1.在具体的情境中理解“上下”的相对性。

2.能用语言表达实际情境中物体的“上下”位置关系。

左右(左右的位置关系):

1.能用语言描述物体的左右位置关系。

2.能在情境中体会左右位置的相对性。进一步再体会:两人如果面向同一方向,他们所看到的左右位置与顺序是一致的;如果面对着面,他们看到的左右位置与顺序是相反的。

教室(前后、上下、左右综合应用):

第六单元

 

第七单元

(一)掌握20以内进位加法的计算方法--- “凑十法”

“凑小数,拆大数”,将小数凑成10,然后再计算。

如:3+9(3+7=10,9可以分成7和2,10+2=12)

“凑大数,拆小数”,将大数凑成10,然后再计算。

如:8+7(8+2=10,7可以分成2和5,10+5=15)

注意:孩子喜欢和熟悉的方法才是最佳方法而且只掌握一种就可以了。

(二)20以内不进位加法和不退位减法:

11+6(个位相加,1+6=7)11+6=17

15-3(个位上够减,5-3=2)15-3=12

3、加强进位和不进位、及不退位的训练。

4、看图列式解题时候,要利用图中已知条件正确列式。常用的关系有:

(1)部分数+部分数=总数 :这时?在大括号下面的中间。

(2)总数-部分数=另一个部分数 :这时?在大括号的上面一边。

(3)大数-小数=相差数:谁比谁多几,或谁比谁少几。

(4)原有-借出=剩下:用了多少,求还剩多少时用。

第八单元

 

1、 认识钟表

会认读整时、半时、整时过一点或差一点到整时这四种时间。

整时:分针指着12,时针指着几就是几时整。

 

分针指着12,时针指着1就是1时。 1:00

分针指着12,时针指着2就是2时。 2:00

分针指着12,时针指着4就是4时。 4:00

分针指着12,时针指着6就是6时。 6:00

半时:时针指1和2的中间,分针指6就是1时半。 1:30

 

时针指2和3的中间,分针指6就是2时半。 2:30

时针指3和4的中间,分针指6就是3时半。 3:30

时针指4和5的中间,分针指6就是4时半。 4:30

时针指5和6的中间,分针指6就是5时半。 5:30

时针指6和7的中间,分针指6就是6时半。 6:30

注意:半时的时候,分针一定指6,时针指在两数字中间,如时针指的是一个数,则这个时刻是错误的。而分针指在12附近,时针马上指着准确的数字,此时是大约几时整。

在练习拨针时,时针和分针一定要拨到准确的位置上。

时针和分针并没有正对着钟面上的数,而是稍微偏了一点,像这种差一点不到几时,或是几时刚刚过一点,我们就不能说正好是几时,而应该说“大约是几时”。

北师大版二年级数学上册

知识点汇总

 

第一单元 加与减

1、100以内数的连加运算:

口算方法:把两位数分成整十数和一位数,整十数加整十数,一位数加一位数,再把两个结果相加。

笔算方法:先把前两个数相加,再用它们的和加上第三个数,或者用竖式直接把三个数相加,相同数位对齐,从各位加起,个位相加满几十就向前一位进几。

2、100以内数的连减计算方法:

按照从左到右的顺序,先求出前两个数的差,再用所得的结果减去第三个数。

3、100以内数的加减混合运算计算方法:

按照从左到右的顺序依次进行计算,计算过程中可以口算的不必列竖式计算。

第二单元 购物

一、认识人民币

1、人民币的单位:元、角、分

以元为单位的人民币:1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元;

以角为单位的人民币:1角、2角、5角;

以分为单位的人民币:1分、2分、5分。

2、元、角、分之间的关系:

1元=10角 1角=10分

二、元、角、分的加减计算:

元和元相加减,角和角相加减,分和分相加减,满10分进为1角,满10角进为1元,单位不同时,要先统一单位再计算。

第三单元 数一数与乘法

一、乘法的意义:

乘法就是求几个相同加数的和的简便运算。

二、乘法算式中各部分的名称及读法。

 

a×b=c 读作a乘b等于c。

三、运用乘法解决实际问题

求几个几相加是多少或求一个数的几倍是多少,用乘法计算。

第四单元 图形的变化

一、轴对称图形:

一个图形对折后,折痕两边的部分能够完全重合,这样的图形就是轴对称图形。

二、平移:

物体或图形沿着直线运动的现象叫平移。

三、旋转:

物体或图形绕着一个轴或一个点进行圆周运动的现象叫旋转。

第五单元 2~5的乘法口诀

一、2的乘法口诀

一二得二 二二得四 二三得六

二四得八 二五一十 二六十二

二七十四 二八十六 二九十八

2的乘法口诀中,每相邻两句的积相差2。

二、3的乘法口诀

一三得三 二三得六 三三得九

三四十二 三五十五 三六十八

三七二十一 三八二十四

三九二十七

3的乘法口诀中,每相邻两句的积相差3。

三、4的乘法口诀

一四得四 二四得八 三四十二

四四十六 四五二十 四六二十四

四七二十八 四八三十二

四九三十六

4的乘法口诀中,每相邻两句的积相差4。

四、5的乘法口诀

一五得五 二五一十 三五十五

四五二十 五五二十五 五六三十

五七三十五 五八四十

五九四十五

5的乘法口诀中,每相邻两句的积相差5。

五、用乘法解决问题,在计算时,要准确地运用乘法口诀。

第六单元 测量

一、测量长度的单位

1、米和厘米都是测量物体长度的单位。测量较短物体的长度时,用厘米作单位;测量较长物体的长度时,用米作单位。

2、1米=100厘米或1m=100cm

二、用尺子测量物体或线的长度的方法:

物体的一端对准0刻度,物体的另一端与尺子对齐的刻度即为物体的长度。从一个整刻度到另一个整刻度,两数之间相差几,物体的长度就是几。

三、知识拓展(选学)

1.长度单位:是指丈量空间距离上的基本单元,是人类为了规范长度而制定的基本单位。其国际单位是“米”(符号“m”),常用单位有毫米(mm)、厘米(cm)、分米(dm)、千米(km)等等。长度单位在各个领域都有重要的作用。

2.米:国际单位制中,长度的标准单位是“米”,用符号“m”表示。

3.分米:分米(dm)是长度的公制单位之一,1分米相当于1米的十分之一。

4.厘米:厘米,长度单位。简写(符号)为:cm.

有关厘米的单位转换: 1厘米=10毫米=0.1分米=0.01米=0.00001千米。

5.毫米:英文缩写MM(或mm、)

进率关:1毫米=0.1厘米;

第七单元 分一分与除法

一、平均分的意义和方法

把一些物体平均分成相等的几份叫平均分。

平均分的方法有两种:是把一些物品按指定的份数平均分;是把一些物品按每几个一份平均分。

二、除法的意义

已知两个乘数的积和其中一个乘数,求另一个除数的运算叫除法。

三、除法算式中各部分的名称及读法。

 

a÷b=c读作a除以b等于c

四、用2~5的乘法口诀求商

除数是几,就想几的乘法口诀,除数和几相乘等于被除数,商就是几

五、倍的意义

1、一个数里面有几个另一个数,这个数就是另一个数的几倍;求一个数是另一个数的几倍,就是求里面有几个另一个数,用除法计算。

2、求一个数的几倍是多少,用乘法计算。

第八单元 6~9的乘法口诀

一、6的乘法口诀:

一六得六 二六十二 三六十八

四六二十四 五六三十 六六三十六

六七四十二 六八四十八

六九五十四

6的乘法口诀有9句,每相邻两句口诀中的积相差6.

二、7的乘法口诀:

一七得七 二七十四

三七二十一 四七二十八

五七三十五 六七四十二

七七四十九 七八五十六

七九六十三

7的乘法口诀有9句,每相邻两句口诀中的积相差7.

三、8的乘法口诀:

一八得八 二八十六

三八二十四 四八三十二

五八四十 六八四十八

七八五十六 八八六十四

八九七十二

8的乘法口诀有9句,每相邻两句口诀中的积相差8.

四、9的乘法口诀:

一九得九 二九十八

三九二十七 四九三十六

五九四十五 六九五十四

七九六十三 八九七十二

九九八十一

9的乘法口诀有9句,每相邻两句口诀中的积相差9.

第九单元 除法

一、利用乘法口诀求商:

除数是几,就想几的乘法口诀。

二、进一步体会除法的意义:

解决有关平均分的问题,用除法计算。被除数不变时,除数越小,商就越大;除数越大,商就越小。有些实际问题不能根据已知条件直接得出结论,可以分步解决。

三、应用乘、除法解决实际问题:

要根据具体情境,结合乘、除法的意义,正确列出算式,应用乘法口诀求积或商。

北师大版三年级数学上册

知识点汇总

 

第一单元 混合运算

1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。

2、在没有括号的算式里,如果只有加、减法或者只有乘、除法,都要从左往右按顺序计算。

3、在没有括号的算式里,有乘、除法和加、减法、要先算乘除法,再算加减法。

4、算式有括号,要先算括号里面的,再算括号外面的;括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。

关于“0”的运算

1、“0”不能做除数;

字母表示:a÷0错误

2、一个数加上0还得原数;

字母表示:a+0= a

3、一个数减去0还得原数;

字母表示:a-0= a

4、被减数等于减数,差是0;

字母表示:a-a =0

5、一个数和0相乘,仍得0;

字母表示:a×0=0

6、0除以任何非0的数,还得0;

字母表示:0÷a(a≠0)=0

7、0÷0得不到固定的商;5÷0得不到商.

第二单元 观察物体

1.四边形特征

正方形

四条边都相等,两组对边分别平行

四个角都是直角

长方形

对边相等,两组对边分别平行

四个角都是直角

平行四边形

对边相等,两组对边分别平行

两组对角分别相等

梯形

只有一组对边平行

等腰梯形同底上的两个角相等

 

2.生活中的简单物体观察总结:同一个物体从不同的角度看会有不同的形状。

3.总结:同一立体图形从不同角度观察会有不同的形状。

第三单元 加与减

1、在计算脱式计算连加时,按从左到右的顺序,先把前两个数相加,再加第三个数,也可以把三个数直接用一个竖式计算,相同数位对齐,从个位加起,哪一位上的数字满几十就要向前一位进几,不要认为满十进一。

2、在计算三个三位数连加时,如果哪两个数相加能凑成整百,整千数,就先将这两个数相加,再加另外那个数。

3.用脱式计算连减时,按从左到右的顺序,先把前两个数相减,再减第三个数。也可以先把后两个数相加,写在小括号里面,再用第一个数减去这两个数的和。

4.如果哪两个数相加能凑成整百,整千数,就先将这两个数相加,再加另外那个数。

5.三位数加减混合运算的顺序:没有小括号的按从左到右的顺序依次计算,有小括号的先算小括号里面的,再算小括号外面的。

6.根据里程表提出问题,一般先把里程表转化成线段图来观察,再列式计算。

7.解决此类问题时,一定要从多个角度画图去理解三者之间的位置关系。位置变化,列式也随之变化。

8.当天行驶的里程数=当天里程表的读数-前一天里程表的读数

9.解答算式谜时,要通过观察推理找到从哪一位先计算,然后一步一步推算出答案。

第四单元 乘与除

1、整十数乘一位数,根据表内乘法,先用整十数0前面的数与一位数相乘,再在积的末尾添上一个0。

2、整百数乘一位数,根据表内乘法,先用整百数0前面的数与一位数相乘,再在积的末尾添上两个0。

3、整十、整百数乘一位数,先根据表内乘法用整十、整百数0前面的数与一位数相乘,再在积的末尾添上相应个数的0。

4、在口算整百、整千数乘一位数时,先看清楚整百、整千数的末尾有几个0,就在积的末尾添上几个0。要注意一位数与0前面的数相乘时得到的0不能丢。

5.两位数乘一位数(不进位)的口算方法:先把前两位数看作几个十和几个一相加的和,再用一位数分别与它们相乘,最后把所得的两个积相加。

6、整十数除以一位数的口算方法:

(1)、先看一位数与什么数相乘能得到这个整十数(也就是被除数),结果就是那个数。

(2)、按表内除法计算:先不看被除数末尾的0,按照表内除法算出商,再将被除数末尾的0填写在商的末尾。

7、在除法算式里,被除数不变(被除数不为0)。除数越大,商越小,除数越小,商越大;除数不变,被除数越大,商越大,被除数越小,商越小。

8、口算两位数除以一位数,先把被除数看成一个整十数和一个一位数,然后分别除以除数,再把所得的两个商相加。

9、(两个连续自然数之和+1)÷2=较大自然数,(两个连续自然数之和-1)÷2=较小自然数, (两数之和+两数之差)÷2=较大数,(两数之和-两数之差)÷2=较小数。

第五单元 周长

1、围成一个图形所有边的长度总和或者说绕一个图形边线一周的总和就是这个图形的周长。

2、不规则物体或图形的测量方法:绳子测量法。

3、规则物体或图形的测量方法:(1)绳测法,(2)直尺测量法。

4、求长方形的周长必须满足两个条件:已知长和宽的长度。

5、长方形周长的计算方法:

(1)长方形的周长=长+宽+长+宽

(2)长方形的周长=长×2+宽×2

(3)长方形的周长=(长+宽)×2

(4)已知长方形的周长和宽,求长;“长=(周长-宽×2)÷2”或“长=周长÷2-宽”

(5)已知长方形的周长和长,求宽;“宽=(周长-长×2)÷2”或“宽=周长÷2-长”

6、正方形周长的计算方法:

(1)可以把4条边长加起来;

(2)用一条边长乘以4,即正方形的周长=边长×4

7、靠墙围成的长方形有两种情况:

(1)长边靠墙,

(2)宽边靠墙。

8、围成的两种长方形,宽边靠墙比长边靠墙所需的围栏多。

第六单元 乘法

1、两、三位数乘一位数(不进位)的笔算方法:从个位算起,用一位数依次去乘多位数每一位的数,与哪一位上的数相乘,就在那一位的下面写积。

2、在列竖式计算两位数乘一位数时,一定要用一位数依次去乘两位数中每个数位上的数。

3、两、三位数乘一位数(进位)的笔算乘法,列竖式计算时,先将一位数与多位数对齐,从个位算起,哪一位上相乘满几十就向前一位进几。

4、两位数乘一位数(进位)的笔算,要把进位的数写到正确的位置上,不要写在积中。

5、两、三位数乘一位数(连续进位)的笔算方法:从个位算起,用一位数依次去乘两位数每一位上的数,哪一位上乘得的积满几十,就向前一位进几。计算时每一步都不要忘记加上进位数。

6、笔算乘法时,哪一位上满十就向前一位进1,向哪一位进1,就在那一位加1。

7、0和任何数相乘都等于0。

8、一个乘数末尾有0的乘法的计算方法:

(1)先用这个乘数0前面的数乘另一个乘数;

(2)再看这个乘数末尾有几个0 ,就在积的末尾添上几个0.

9、在计算乘数中间有0的乘法时,从个位算起,用一个数依次去乘多位数每一位上的数,哪一位上的乘积是0,要在那一位上写0占位,如果有进上来的数必须加上。

10、结论:

(1)因数的末尾有0,乘积中一定有0。

(2)因数的中间有0,乘积中不一定有0。

11、连乘的估算方法:尽可能将其中两个数的乘积估成整十,整百数,再与第三个数相乘。

12、连乘的运算顺序:按从左到右的顺序依次计算。

13、三个数连乘时,可以先把前两个数相乘,在乘第三个数;也可以先把后两个数相乘,再乘第一个数;还可以把任意两个数交换位置后再相乘。

第七单元 年 月 日

 

1、一年有12个月。

2、1、3、5、7、8、10、12月每月有31天,是大月;4.6.9.11月每月有30天,是小月;2月有28天或29天,2月既不是大月,也不是小月。

3、一个月只有28天时,这个月有四个星期一至星期日;一个月有29天时,这个月中星期一至星期日的某一个是5天;一个月有30天时,这个月中星期一至星期日的某2个是5天;一个月有31天时,这个

4、2月29日是个特殊的日子,只有4年才出现。

5、每四年中有一年的二月份有29天,其他年份的二月份都只有28天。

6、认识平年和闰年:

(1)公里年份是4的倍数的是闰年,不是4的倍数的是平年,公立年份是整百年的,是必须是400的倍数的才是闰年。

(2)判断一个整百年份是不是闰年,要看这个年份数是不是400的倍数,如果是整数倍就是闰年,否者就是平年.

(3)2月份是28天的是平年,2月份是29天的是闰年,平年一年有365天,闰年一年有366天。

(4)平年一年有52个星期零1天,闰年一年有52个星期零2天。

365÷7=52(个)......1(天)

366÷7=52(个)......2(天)

7、推算几周年的的时间问题,可以用终止年份直接减去起始年份,所得的差即为所求。

8、24时记时法:在一日(天)里,钟表上的时针正好走2圈,共计24时。所以经常采用从0到24时的计时法,通常叫作24时计时法。

9、普通计时法与24时记时法的表示时刻的换算:从凌晨0:00到中午12:00与普通计时法相同;中午12:00以后,普通计时法与24时记时法的整点时刻相差12,普通计时法去掉限制词后加12就是24时计时法,24时计时法减12后就是普通计时法,

10、计算从一个时刻到另一个时刻所经过的时间,可以根据钟表推算,也可以用终止时刻减去起始时刻。

11、计算中午12时的经过时间,要么把时间都换算成24时计时法来计算,要么先算中午12时以前有多长时间,再加上下午的一段时间。

12、普通计时法在表述时要加上限制词上午、下午或者晚上等,这样才能将时间准确的表达出来。

13、同一段距离,测量方法和测量工具不同,在测量的结果相同的情况下,选简便的方法比较合适。

14、地面上一定范围内的直线距离可以直接用直尺来测量。

15、解决搭配问题也可以用乘法计算,也能得到有多少种不同的搭配方法。

16、数路线问题实际上也属于搭配问题,在确定行走路线时,一定不要重复和遗漏。

17、日历中的数有很多规律,如横向左边的数比右边的数少1;纵向上面的数比下面少7等。

第八单元 认识小数

1、像3.15,0.50,1.06,6.66,...这样的数,都是小数。“.”叫作小数点。

2、小数由整数部分、小数点、和小数部分组成。

3、一个小数的小数部分有几位数,它就是几位小数。

4、读小数时,整数部分按整数的读法读,中间的小数点读作点,小数部分依次读出每一数位上的数。

5、写小数时,要先写整数部分,按照整数的写法来写,然后在个位的右下角点上小数点,最后写小数部分,依次写出各个数位上的数。

6、把以元为单位的小数改写成以元、角、分的数的方法:小数的整数部分是几,就改写成几元;小数点后的第一位是几,就改写成几角;小数点后的第二位是几,就改写成几分。若那一位上是0,那一位就省略不写。

7、把带有元、角、分的数改写成一元为单位的小数时,元与小数的整数部分相对应,角与小数点后的第一位数相对应,分与小数点后的第二位数相对应。

8、比较小数大小的方法:先比较整数部分,整数部分大的这个小数就大;如果整数部分相同,就比较小数点后的第一位,小数点后的第一位上的数大的这个小数就大;如果相同就比较小数点后的第二位,以此类推。

9、比较三个或三个以上小数的大小和比较两个小数大小的方法相同,先比较整数部分,整数部分相同,再依次比较小数部分。

10、小数加法的计算方法:小数相加,先把小数点对齐(也就是把相同数位对齐),再按照整数加法的计算方法计算,哪一位上的数相加满十就向前一位进1,最后在得数里点上小数点,使它与横线上的小数点对齐。

11、小数减法的计算方法:小数相减,先把小数点对齐(也就是把相同数位对齐),再按照整数减法的计算方法计算,哪一位上的数不够减,就从前一位退1,最后在得数里点上小数点,使它与横线上的小数点对齐。

12、在计算小数加法时,与整数加法一样,哪一位上的数相加满十就向前一位进1,千万不要忘记满十进一,也不要忘记下一位进上来的一。

13、把带有米、分米、厘米的数改写成以“米”为单位的小数时,米与小数的整数部分相对应,分米与小数点后的第一位数相对应,以此类推。

14、如果米、分米、厘米中某一个单位上一个数也没有,在改写成以“米”为单位的小数时,就在那个单位所对应的数位上写0。

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知识点汇总

 

第一单元《认识更大的数》

1、认识数级、数位、计数单位,并了解它们之间的对应关系。

 

 

第二单元《线与角》

一、线

直线、射线、线段:

直线没有端点,可以向两个方向无限延伸;

射线有一个端点,只能向一个方向无限延伸;

线段有端点,不能向两个方向无限延伸。

2. 过一点可以画无数条直线,过两点只能画一条直线,两点之间线段最短。

3. 平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,也可以说这两条直线互相平行。

4. 一条直线的平行线有无数条,过线外一点作平行线,只能画一条。

5. 两条平行线之间的距离处处相等,两条平行线之间的垂线段就是他们的距离。

6. 相交:如果两条直线只有一个公共点,这两条直线叫相交直线。

7. 垂直:两条直线相交成直角时,叫做两条直线相互垂直。两条直线互称为对方的垂线。

8. 一条直线的垂线有无数条,过线外一点作已知直线的垂线只能画一条。

9. 从直线外一点到这条直线所画的垂直线最短,它的长度叫作这点到直线的距离。

10. 当两条直线相交成直角时,这两条直线互相垂直。其中一条线是另一条线的垂线,这时两条直线的交点叫作垂足。

 

第三单元《乘法》

1、估算方法。用四舍五入法进行估算。

利用竖式计算三位数乘两位数。注意,第二个因数的十位要乘三遍,第二步的乘积末尾写在十位上。

估算的方法及注意事项:要将因数估成整十、整百或整千的数。估算时注意,要符合实际,接近精确值。

2、乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,再和第三个数相乘,或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变。用字母表示是:

(a×b)×c=a×(b×c).

使用时机:当几个数相乘时,如果其中两个数相乘得整十、整百、整千的数就可以应用乘法交换律和乘法结合律。乘法结合律可以改变乘法运算中的顺序。数字如;25和4、50和2、125和8、50和4、500和2等。

3、乘法分配律:两个数的和(或差)与一个数相乘,可以把两个加数(或被减数、减数)分别与这个数相乘,在把两个积相加(或相减),结果不变。用字母表示数:

(a+b)×c=a×c+b×c

或(a-b)×c=a×c-b×c

补充:

1、时、分、日之间的单位互化。

1时=60分 1日=24时

因数中间或末尾有0的三位数乘两位数。

中间有0也要和因数分别相乘;末尾有0的,要将两个因数0前面数的末位对齐,用0前面的数相乘,乘完之后在落0,有几个0落几个0。

2、了解两个因数越接近(即差越小),积越大,两个因数相等时,积是最大的;两个因数的差越大,积越小。

3、式子的特点:式子的原算符号一般是×、+(-)、×的形式;在两个乘法式子中,有一个相同的因数;另为两个不同的因数之和(或之差)基本上是能凑成整十、整百、整千的数。

102×88、99×15这类题的特点:两个数相乘,把其中一个比较接近整十、整百、整千的数改写成整十、整百、整千与一个数的和(或差),再应用乘法分配律可以使运算简便。

第四单元《运算律》

 

6.应用乘法运算律进行简便计算

在连乘计算中,当某两个乘数的积正好是整十、整百、整千的数时,运用乘法运算律可使计算简便。

运用分解的方法,将某个乘数拆分成几个数相乘的形式,使其中的乘数与其他乘数的乘积“凑整”。

乘除的规律:先乘后除等于先除后乘。

除法的运算性质:(1)一个数连续除以两个数(每次都能除尽)等于这个数除以这两个除数的积。

除法的运算性质:(2)一个数除以两个数的积等于这个数连续除以积里每个乘数。

7.乘法分配律

乘法分配律特别要注意“两个数的和与一个数相乘,可以先把它们与这个数分别相乘,再相加”中的分别两个字。

注意:(1)一定要括号外的数分别乘括号里的两个数,再把积相加。乘法对于减法的分配律是括号外的数分别乘括号里的两个数,再把积相减。

(2)两个积中相同的因数只能写一次)

第五单元《方向与位置》

1、数对的表示方法:先表示横的方向,后表示纵的方向,即根据直角坐标系,确定某一点的坐标(x,y)

2、认识方向:东、南、西、北、东南、东北、西南、西北。

3.根据方向和距离确定物体位置的方法:

(1)以某一点为观测中心,标出方向,上北、下南、左西、右东;将观测点与物体所在的位置连线;用量角器测量角度,最后得出结论在哪个方向上。

(2)用直尺测量两点之间的图上距离。

第六单元《除法》

1. 路程、时间和速度之间的关系:

路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间

2、将出意义并能比较速度的快慢:

如:4千米|时 12千米分 340米|秒 30万千米|秒

3、了解被除数、除数和商之间的关系:

被除数÷除数=商......余数

被除数=除数×商+余数

除数=被除数÷商......余数

4、单价、数量、总价之间的关系:

单价×数量=总价

单价=总价÷数量

数量=总价÷单价

5、商不变的规律:

被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变

6、

被除数不变,除数扩大或缩小若干倍(0除外),商随着缩小或扩大相同的倍数。

除数不变,被除数扩大或缩小若干倍(0除外),商随着扩大或缩小相同的倍数。

第七单元《生活中的负数》

1、 零下温度的表示方法:在温度前面写上“”号,如“2℃”“12℃”通常读作零下2摄氏度、零下12摄氏度。

比较两个零下的温度的高低:0℃和零上的温度高于零下的温度;零下温度的数字越大表示温度越低。

2、正数:比0大的数字都是正数,有的时候我们在正数前面添上“+”号,如+5、+20等等,读作:正5、正20。

负数:比0小的数字都是负数,我们在负数前面提案上“”号,如2、10等等,读作:负2、负10。

明确0既不是正数也不是负数。

第八单元 可能性

1.‘不可能和一定’,都表示确定的现象。‘可能’,表示不确定的现象。

2.请用“一定、可能、不可能”来说一说。

一定:太阳一定从东边升起;月亮一定绕着地球转;地球一定每天都在转动;每天一定都有人出生;人一定要喝水……

可能:三天后可能下雨;花可能是香的;明天可能有风;下周可能会考试。……

不可能 :太阳不可能从西边升起;地球不可能绕着月亮转;我不可能从出生到现在没吃过一点东西;鲤鱼不可能在陆地上生活;空中不可能盖楼房;我不可能比姐姐大……

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知识点汇总

 

第一单元 小数除法

1、除数是整数的小数除法计算法则:

除数是整数的小数除法,按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添0再继续除。

2、除数是小数的小数除法计算法则:

除数是小数的除法,先移动除数的小数点,使它变成整数;除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的,在被除数末尾用0补足),然后按照除数是整数的小数除法进行计算。

3、 在小数除法中的发现:

①当除数大于1时,商小于被除数。

如:3.5÷5=0.7

②当除数小于1时,商大于被除数。

如:3.5÷0.5=7

4、小数除法的验算方法:

①商×除数=被除数(通用)

②被除数÷商=除数

5、商的近似数:

根据要求要保留的小数位数,决定商要除出几位小数,再根据“四舍五入”法保留一定的小数位数,求出商的近似数。例如:要求保留一位小数的,商除到第二位小数可停下来;要求保留两位小数的,商除到第三位小数停下来……如此类推。

6、循环小数问题:

A、小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。如,0.37、1.4135等。

B、小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。如5.3… 7.145145…等。

C、一个数的小数部分,从某位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。(如5.3… 3.12323… 5.7171…)

D、一个循环小数的小数部分,依次不断重复的数字,叫做小数的循环节。(如5.333… 的循环节是3, 4.6767…的循环节是67, 6.9258258…的循环节是258)

7、用简便方法写循环小数的方法:

只写一个循环节,并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点。

只有一个数字循环节的,就在这个数字上面记一个小圆点

有两位小数循环的,就在这两位数字上面,记上小圆点

有三位或以上小数循环的,在首位和末位记上小圆点

8、除法中的变化规律:

①商不变性质:被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数( 0除外),商不变。

②除数不变,被除数扩大,商随着扩大。 被除数不变,除数缩小,商扩大。

③被除数不变,除数缩小,商扩大。

第二单元 轴对称和平移

1.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形,那条直线就叫做对称轴。两图形重合时互相重合的点叫做对应点,也叫对称点。

2.轴对称图形的性质:对应点到对称轴的距离相等,对应点连线垂直于对称轴。

3.轴对称图形具有对称性。

4轴对称图形的法:

(1)找出所给图形的关键点,如图形的顶点、相交点、端点等;

(2)数出或量出图形关键点到对称轴的距离;

(3)在对称轴的另一侧找出关键点的对称点;

(4)按照所给图形的顺序连接各点,就画出所给图形的轴对称图形。

5.平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。

6.平移的基本性质:

(1)平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置。

(2)经过平移,对应线段,对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等。

7.平移图形的画法:

(1)确定平移的方向与距离。

(2)将关键点按所需方向平移所需距离。

(3)按原来图形的连接方式依次连接各对应点并标上相应字母。

8.运用旋转设计图案的方法:

(1)选好基本图案;

(2)根据所选的基本图案确定旋转点;

(3)确定旋转度数;

(4)依次沿每次旋转后的基本图形的边缘画图。

9.运用对称设计图案的方法:

(1)先选好基本图案;

(2)依据基本图案的特点定好对称轴;

(3)画出基本图形的对称图形

第三单元 倍数和因数

1.认识自然数和整数,联系乘法认识倍数与因数。

像0,1,2,3,4,5,6,…这样的数是自然数。

像-3,-2,-1,0,1,2,3,…这样的数是整数。

我们只在自然数(零除外)范围内研究倍数和因数。

倍数与因数是相互依存的关系,要说清谁是谁的倍数,谁是谁的因数。

补充知识点:

一个数的倍数的个数是无限的。因数个数是有限的。

一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身;

一个数最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。

2,5的倍数的特征

2的倍数的特征:个位上是0,2,4,6,8的数是2的倍数。

5的倍数的特征:个位上是0或5的数是5的倍数。

偶数和奇数的定义:

是2的倍数的数叫偶数,不是2的倍数的数叫奇数。

能判断一个数是不是2或5的倍数。能判断一个非零自然数是奇数或偶数。

补充知识点:

既是2的倍数,又是5的倍数的特征:个位上是0的数既是2的倍数,又是5的倍数。

3的倍数的特征:一个数各个数位上的数字的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。

同时是2和3的倍数的特征:个位上的数是0,2,4,6,8,并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数,既是2的倍数,又是3的倍数。

同时是3和5的倍数的特征:个位上的数是0或5,并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数,既是3的倍数,又是5的倍数。

同时是2,3和5的倍数的特征:个位上的数是0,并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数,既是2和5的倍数,又是3的倍数。

6的倍数的特征:既是2的倍数又是3的倍数的数。

9的倍数的特征:一个数各个数位上的数字的和是9的倍数,这个数就是9的倍数。

找因数

在1~100的自然数中,找出某个自然数的所有因数。方法:运用乘法算式,思考:哪两个数相乘等于这个自然数。

补充知识点:

一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。

找质数

理解质数与合数的意义。

一个数只有1和它本身两个因数,这个数叫作质数。

一个数除了1和它本身以外还有别的因数,这个数叫作合数。

1既不是质数也不是合数。

判断一个数是质数还是合数的方法:

一般来说,首先可以用“2,5,3的倍数的特征”判断这个数是否有因数2,5,3;如果还无法判断,则可以用7,11等比较小的质数去试除,看有没有因数7,11等。只要找到一个1和它本身以外的因数,就能肯定这个数是合数。如果除了1和它本身找不到其他因数,这个数就是质数。

数的奇偶性

运用“列表”“画示意图”等方法发现规律:

小船最初在南岸,从南岸驶向北岸,再从北岸驶回南岸,不断往返。通过“列表”“画示意图”的方法会发现“奇数次在北岸,偶数次在南岸”的规律。

能够运用上面发现的数的奇偶性解决生活中的一些简单问题。

通过计算发现奇数、偶数相加奇偶性变化的规律:

偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数

偶数+奇数=奇数 偶数-偶数=偶数

奇数-奇数=偶数 偶数-奇数=奇数

奇数-偶数=奇数 偶数 × 偶数=偶数

偶数 × 奇数=偶数 奇数 × 奇数=奇数

第四单元 多边形面积

比较图形的面积

借助方格纸,能直接判断图形面积的大小。

平面图形面积大小的比较有多种方法:

根据图形面积的大小,可以直接进行比较;可以借助参照物进行比较;可以运用重叠的方法进行比较;借助方格,利用数方格的的方法进行比较;直接计算面积后再进行比较等。

图形面积相同,其形状可以是不同的。

补充知识点:

确定一个图形面积的大小,不仅是根据图形的形状,更重要的是根据图形所占格子的多少来确定。

地毯上的图形面积

根据地毯上所给图案探求不规则图案面积的计算方法。

直接通过数方格的方法,得出答案的面积。

将图案进行“化整为零”式的计算,即根据图案的特点,将整体的图案分割为若干个相同面积的小图案,通过求小图案的面积,得出整个图案的面积。

采用“大面积减小面积”的方法,即通过计算相关图形的面积,得到所求的面积。

补充知识点:

在解决问题时,策略和方法是多种多样的。

动手做

认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。

从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段,这条垂直线段就是平行四边形的高,这条对边是平行四边形的底。

三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高,这条对边是三角形的底。

从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段,这条垂直线段就是梯形的高,这条对边就是梯形的底。

高和底的关系是对应的。

用三角板画出平行四边形的高的方法:

把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合,让三角板的另一条直角边过对边的某一点。

从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线,这条垂线(从点到垂足)就是平行四边形一条边上的高。

注意:从一条边上的任意一点可以向它的对边画高,也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。

用三角板画出三角形的高的方法:

把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点,另一条直角边与这个顶点的对边重合。

从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线,这条垂线(从顶点到垂足)就是三角形形一条边上的高。

用三角板画梯形的高的方法:

用同样的方法,画出梯形两条平行线之间的垂直线段,就是梯形的高。

平行四边形的面积

平行四边形的面积=拼成的长方形的面积

长方形的长就是平行四边形的底;长方形的宽就是平行四边形的高。

因此:平行四边形面积=底×高

如果用S表示平行四边形的面积,用a和h分别表示平行四边形的底和高,那么,平行四边形的面积公式可以写成:

S=ah

运用平行四边形的面积计算公式计算相关图形的面积并解决一些实际问题。

补充知识点:

当平行四边形的底和高相同时,其面积也是相同的。

三角形的面积

三角形面积=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2

三角形的底和高,也就是平行四边形的底和高。

因此:

三角形面积

=平行四边形的面积÷2

=底×高÷2

如果用S表示三角形的面积,用a和h分别表示三角形的底和高,那么,三角形的面积公式可以写成:

S=ah÷2

运用三角形的面积公式,计算相关图形的面积,解决实际问题。

补充知识点:

决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状,而是三角形的底与高的长度,只要底和高相同,不同形状的三角形的面积也是相同的。

梯形的面积

梯形面积=两个相同梯形拼成的平行四边形的面积÷2

梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底,梯形的高就是平行四边形的高。

因此:

梯形面积

=平行四边形面积÷2

=底×高÷2

=(上底+下底)×高÷2

如果用S表示梯形的面积,用a和b分别表示梯形的上底和下底,用h表示梯形的高,那么,梯形的面积公式可以写成:

S=(a+b)h÷2

运用梯形面积的计算公式,解决相应的实际问题。

补充知识点:

决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状,而是梯形的上、下底之和与高的长度,只要上下底的和与高相同,不同形状的梯形的面积也是相同的。

第五单元 分数的意义

分数的再认识

在具体情境中,进一步认识分数。分数对应的“整体”不同,分数所表示的部分的大小或具体数量也不一样,也就是分数具有相对性。

真分数与假分数

理解真分数、假分数、带分数的意义。

像1/2、1/4、2/3、3/4,…这样的分数叫作真分数。特点:分子都比分母小;分数值小于1。

像 3/2、3/3、5/4、9/4,…这样的分数叫作假分数。特点:分子比分母大,或者分子与分母相等;分数值大于或等于1。

像 ,这样的分数叫作带分数。特点:由整数和真分数两部分组成的;分数值大于1。

带分数的读法:读作:二又四分之一。

★补充知识点:

分子是分母倍数的假分数可以化成整数。

分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。

分数与除法

理解分数与除法的关系:被除数÷除数=(除数不为0)。

分数的分母不能是0。因为在除法中,0不能做除数,因此根据分数与除法的关系,分数中的分母相当于除法中的除数,所以分母也不能是0。

运用分数与除法的关系解决实际问题。用分数来表示两数相除的商。

根据分数与除法的关系把假分数化成带分数的方法:

用分子除以分母,把所得的商写在带分数的整数位置上,余数写在分数部分的分子上,仍用原来的分母作分母。

把带分数化成假分数的方法:

将整数与分母相乘的积加上原来的分子作分子,分母不变。

分数基本性质

理解分数的基本性质:

分数的分子和分母都乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。

联系分数与除法的关系以及“商不变”的规律,来理解分数的基本性质。

分子相当于被除数,分母相当于除数,被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。因此分数的分子和分母都乘或除以相同的数(0除外),分数的大小也是不变的。

运用分数的基本性质,把一个分数化成指定分母(或分子)而大小不变的分数。

找最大公因数

理解公因数和最大公因数的意义。

几个数公有的因数是这几个数的公因数,其中最大的一个是它们的最大公因数。

找两个数的公因数和最大公因数的方法:

1、列举法:运用找因数的方法先分别找到两个数各自的因数,再找出两个数的因数中相同的因数,这些数就是两个数的公因数;再看看公因数中最大的是几,这个数就是两个数的最大公因数。

补充知识点:

其他找最大公因数的方法:

2、找两个数的公因数和最大公因数,可以先找出两个数中较小的数的因数,再看看这些因数中有哪些也是较大的数的因数,那么这些数就是这两个数的公因数。其中最大的就是这两个数的最大公因数。

例如:找15和50的公因数和最大公因数:

可以先找出15的因数:1,3,5,15。再判断4个数中,哪几个也是50的因数,只有1和5,1和5就是15和50的公因数。5就是它们的最大公因数。

3、如果两个数是不同的质数,那么这两个数的公因数只有1。

4、如果两个数是连续的自然数(0除外),那么这两个数的公因数只有1。

5、如果两个数具有倍数关系,那么较小的数就是这两个数的最大公因数。

6、短除法

偶数与所有奇数的最大公因数是1;一个数与它的的倍数的最大公因数是它本身。

约分

理解约分的含义:

把一个分数的分子、分母同时除以公因数,分数的值不变,这个过程叫做约分。

理解最简分数的含义:

像1/3这样分子、分母公因数只有1了,不能再约分了,这样的分数是最简分数。

掌握约分的方法:

约分的方法一般有两种,一种是用两个数的公因数一个一个去除,另一种是直接用两个数的最大公因数去除。

补充知识点:

比较分数大小时,分母相同的、分子相同的可以直接比较,有些时候分子分母都不相同可以采用约分后进行比较的方法。例如:○

找最小公倍数

理解公倍数和最小公倍数的含义。

两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数,其中最小的一个,叫做最小公倍数。

找两个数的公倍数和最小公倍数的方法:

1、先找出两个数各自的倍数(限制一定的范围内),再找出公有的倍数,找出两个数公有的倍数,看看这些公倍数中最小的是几,这个数就是两个数的最小公倍数。

两个数公倍数的个数是无限的,因此只有最小公倍数没有最大的公倍数。

补充知识点:

其他找公倍数和最小公倍数的方法:

2、找两个数的公倍数和最小公倍数,可以先找出两个数中较大的数的倍数(限制一定的范围内),再看看这些倍数中有哪些也是较小的数的倍数,那么这些数就是这两个数的公倍数。其中最小的就是这两个数的最小公倍数。

例如:找6和9的公倍数和最小公倍数。(50以内)可以先找出9的倍数(50以内)有:9,18,27,36,45,再从这些数中找出6的倍数18,36,18和36就是6和9的公倍数,18是最小公倍数。

3、如果两个数是不同的质数,那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。

4、如果两个数是连续的自然数(0除外),那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。

5、如果两个数具有倍数关系,那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。

6、短除法求最小公倍数

分数的大小

理解通分的含义:

把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数,这个过程叫作通分。

★通分的两个要点:和原来分数相等;分母相同。

■分数大小比较:

同分母分数相比较,分子越大分数越大。

同分子分数相比较,分母越小分数越大。

分子分母都不相同的分数相比较的方法:

用通分的方法把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数,再比较大小。(把两个分数化成分子相同的分数,再比较大小)

补充知识点:

通分一般以最小公倍数作分母。

第六单元 组合图形的面积

组合图形面积

了解组合图形:

有几个简单的图形拼出来的图形,我们把它们叫做组合图形。

计算组合图形的面积的方法是多种多样的。一般运用的方法是“分割法”和“添补法”。

分割法,即将这个图形分割成几个基本的图形。分割图形越简洁,其解题的方法也将越简单,同时又要考虑分割的图形与所给条件的关系。

添补法,即通过补上一个简单的图形,使整个图形变成一个大的规则图形。

运用所学的知识,解决生活中组合图形的实际问题。

能正确估计不规则图形面积的大小。

能用数格子的方法,计算不规则图形的面积。

估计、计算不规则图形面积的内容主要是以方格图作为北京进行估计与计算的,所以借助方格图能帮助建立估计与计算不规则图形面积的方法。

鸡兔同笼

知识点:借助“鸡兔同笼”这个载体经历列表、尝试和不断调整的过程,从中体会出解决问题的一般策略列表。

点阵中的规律

知识点:能在观察活动中,发现点阵中隐含的规律,体会到图形与数的联系。

在“点阵中的规律”的活动中,通过观察前后图形中点的变化规律,推理出后续图形中点的数量。

第七单元 可能性

摸球游戏(用分数表示可能性的大小)

知识点:用分数表示可能性的大小。

客观事件中,“不可能”出现的现象用数据表示为“可能性是0”,客观事件中,“一定能”出现的现象用数据表示为“可能性是1”,当可能性是相等的时候,用数据表述是“1/2”。

逐步体会到数据表示的简洁性与客观性。

知识点:运用分数表示可能性的大小,能自主地设计一些活动方案。

对实际生活中的事件与现象,能运用可能性的知识进行合理的解释。

北师大版六年级数学上册

知识点汇总

 

第一单元 圆

1.圆的定义:平面上的一种曲线图形。

2.将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.

3.半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。

4.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。

5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。

6.在同一个圆内,所有的半径都相等,所有的直径都相等。

7.在同一个圆内,有无数条半径,有无数条直径。

8.在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。

用字母表示为:

d=2r

r =1/2d

用文字表示为:

半径=直径÷2

直径=半径×2

9.圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

10.圆的周长总是直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率,用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时,取π≈3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

11.圆的周长公式:C=πd 或C=2πr

圆周长=π×直径

圆周长=π×半径×2

12、圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。

13.把一个圆割成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半,用字母(πr)表示,宽相当于圆的半径,用字母(r)表示,因为长方形的面积=长×宽,所以圆的面积= πr×r。

圆的面积公式:S=πr。

14.圆的面积公式:S=πr 或者S=π(d/2) 或者

15.在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。

16.在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。

17.一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是

S=πR-πr 

或 S=π(R-r)。

(其中R=r+环的宽度.)

19.半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于,半圆有直径,而圆周长的一半没有直径。

半圆的周长公式:

C=πd/2+d 

或 C=πr+2r

圆周长的一半=πr

20.半圆面积=圆的面积÷2  

公式为:S=πr/2

21.在同一个圆里,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。

例如:在同一个圆里,半径扩大4倍,那么直径和周长就都扩大4倍,而面积扩大16倍。

22.两个圆的半径比等于直径比等于周长比,而面积比等于以上比的平方。

例如:两个圆的半径比是2:3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2:3,而面积比是4:9。

圆周长和直径的比是π:1,比值是π

圆周长和半径的比是2π:1,比值是2π

23.当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;

当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加πa厘米。

24.在同一圆中,圆心角占圆周角的几分之几,它所在扇形面积就占圆面积的几分之几;所对的弧就占圆周长的几分之几.

25.当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆的面积最大,长方形的面积最小

26.扇形弧长公式:扇形的面积公式: 

S=nπr/360

(n为扇形的圆心角度数,r为扇形所在圆的半径)

27.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

28.有一条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

有2条对称轴的图形是:长方形

有3条对称轴的图形是:等边三角形

有4条对称轴的图形是:正方形

有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。

29.直径所在的直线是圆的对称轴。

30、永远记住要带单位,周长是(例如:cm),面积是平方(例如:cm2),体积是立方(例如:cm3)。

31、圆的周长:

3.14×1=3.14 3.14×2=6.28

3.14×3=9.42 3.14×4=12.56

3.14×5=15.7 3.14×6=18.84

3.14×7=21.98 3.14×8=25.12

3.14×9=28.26 3.14×10=31.4

32、圆的面积:

3.14×12=3.14 3.14×22=12.56

3.14×32=28.26 3.14×42=50.24

3.14×52=78.5 3.14×62=113.04

3.14×72=153.86 3.14×82=200.96

3.14×92=254.34 3.14×102=314

第二单元 分数混合运算

1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同,都是先算乘除,再算加减,有括号的先算括号里的。

①如果是同一级运算,按照从左到右的顺序依次计算。

②如果是分数连乘,可先进行约分,再进行计算;

③如果是分数乘除混合运算时,要先把除法转换成乘法,然后按乘法运算。

2、解决问题

(1)用分数运算解决“求比已知量多(或少)几分之几的量是多少”的实际问题,方法是:

第①种方法:可以先求出多或少的具体量,再用单位“1”的量加或减去多或少的部分,求出要求的问题。

第②种方法:也可以用单位“1”加或减去多或少的几分之几,求出未知数占单位“1”的几分之几,再用单位“1”的量乘这个分数。

(2)“已知甲与乙的和,其中甲占和的几分之几,求乙数是多少?”

第①种方法:首先明确谁占单位“1”的几分之几,求出甲数,再用单位“1”减去甲数,求出乙数。

第②种方法:先用单位“1”减去已知甲数所占和的几分之几,即得未知乙数所占和的几分之几,再求出乙数。

(3)用方程解决稍复杂的分数应用题的步骤:

①要找准单位“1”。

②确定好其他量和单位“1”的量有什么关系,画出关系图,写出等量关系式。

③设未知量为X,根据等量关系式,列出方程。

④解答方程。

(4)要记住以下几种算术解法解应用题:

①对应数量÷对应分率=单位“1” 的量

②求一个数的几分之几是多少,用乘法计算。

③已知一个数的几分之几是多少,求这个数,用除法计算,还可以用列方程解答。

3、要记住以下的解方程定律:

加数 +加数 = 和;

加数 = 和另一个加数。

被减数减数 = 差;

被减数=差+减数;

减数=被减数差。

因数×因数 = 积;

因数 = 积÷另一个因数。

被除数÷除数 = 商;

被除数=商×除数;

除数=被除数÷商。

4、绘制简单线段图的方法:

分数应用题,分两种类型,一种是知道单位“1”的量用乘法,另一种是求单位“1”的量,用除法。这两种类型应用题的数量关系可以分成三种:(一)一种量是另一种量的几分之几。(二)一种量比另一种量多几分之几。(三)一种量比另一种量少几分之几。绘制时关键处理好量与量之间的关系,在审题确定单位“1”的量。绘制步骤:

①首先用线段表示出这个单位“1”的量,画在最上面,用直尺画。

②分率的分母是几就把单位“1”的量平均分成几份,用直尺画出平均的等分。标出相关的量。

③再绘制与单位“1”有关的量,根据实际是上面的三种关系中的哪一种再画。标出相关的量。

④问题所求要标出“?”号和单位。

5、补充知识点

分数乘法:分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。

分数乘法的计算法则

分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。

分数乘法意义

分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘,可以看作是求这个数的几分之几是多少。

分数乘整数:数形结合、转化化归

倒数:乘积是1的两个数叫做互为倒数。

分数的倒数

找一个分数的倒数,例如3/4 把3/4这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。则是4/3。3/4是4/3的倒数,也可以说4/3是3/4的倒数。

整数的倒数

找一个整数的倒数,例如12,把12化成分数,即12/1 ,再把12/1这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。则是1/12 ,12是1/12的倒数。

小数的倒数

普通算法:找一个小数的倒数,例如0.25 ,把0.25化成分数,即1/4 ,再把1/4这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。则是4/1 用1计算法:也可以用1去除以这个数,例如0.25 ,1/0.25等于4 ,所以0.25的倒数4 ,因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。

分数除法:分数除法是分数乘法的逆运算。

分数除法计算法则:

甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。

分数除法的意义:与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。

分数除法应用题:先找单位1。单位1已知,求部分量或对应分率用乘法,求单位1用除法。

第三单元 观察物体

1、观察物体一般从正面、上面、左面或右面来观察。

2、同样高度的物体,在同一光源的照射下,离光源越近,这个物体的影子就越短;离光源越远,这个物体的影子就越长。

3、站得高,才能望得远。

4、确定观察的范围:

1)先找到观察点、障碍点;

2)连接观察点和障碍点后确定观察的范围。

5、看不到的地方称作盲区。

第四单元 百分数的认识

1、百分数的意义

像84%,28%,2.5%……这样的数叫作百分数,表示一个数是另一个数的百分之几。百分数也叫百分比、百分率。百分数只表示两个数之间的关系,不能带单位名称,它表示的是一个比值。

2、百分数的读法和写法

①百分数的读法:百分数的读法与分数的读法相同,但百分数读作“百分之几”,不读作“一百分之几”。

②百分数的写法:百分数相当于分母是100的分数,但百分数不能写成分数的形式,而是在分子的后面加上百分号(%)来表示。

3、百分数和分数的区别

①意义不同

百分数只表示一个数是另一个数的百分之几。它只能表示两个数之间的倍数关系,并不是表示某一个具体数量,所以百分数不能带单位。分数不仅可以表示两个数之间的倍数关系,还可以表示一定的数量,所以分数表示数量时可以带单位。

②写法不同

百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。

分数的最后结果中的分子只能是整数,计算结果不是最简分数的要化成最简分数。

百分数的最后结果中的分子可以是整数,也可以是小数。如:18%,16.7%,180%

4、小数、分数、百分数的互化

①把小数化成百分数的方法:

先把小数点向右移动两位,再在数的后面直接添上“%”,如0.25=25%

②把分数化成百分数的方法:

可以先把分数化成分母是100的分数,再改写成百分数,如3/5=0.6=60%(除不尽的保留三位小数)。

③把百分数化成小数的方法:

先把“%”去掉,同时把小数点向左移动两位,当移动的位数不够时,要添0补位。

④把百分数化成分数的方法:

先把百分数改写成分母是100的分数,能约分的要约分成最简分数。当百分数的分子是小数时,要要根据分数的基本性质把分子和分母同时扩大相同的倍数,把分子变成整数后能约分的再约分。

5、求一个数是另一个数的百分之几的方法

求一个数是另一个数的百分之几的方法与求一个数是另一个数的几分之几的方法相同,就是用这个数除以另一个数,除不尽时通常保留三位小数,然后把小数点向右移动两位,再在数的后面加上%

6、求百分率的方法:

百分率一般是指部分占总体的百分之几。如合格率就是合格的产品数量占产品数量的百分之几。及格率就是及格人数占总人数的百分之几。结果用百分数的形式表示。

常考的几种百分率:

合格的数量÷总数量×100%=合格率

及格的人数÷总人数×100%=及格率

发芽的数量÷总数量×100%=发芽率

优秀的人数÷总人数×100%=优秀率

出席的人数÷总人数×100%=出席率

缺席的人数÷总人数×100%=缺席率

命中的次数÷总次数×100%=命中率

7、求一个数的百分之几是多少的实际问题的解法

与求一个数的几分之几是多少的问题的解答方法相同,都是用乘法来计算,用这个数乘百分之几。计算时可以把这个数化成小数来计算,也可以把这个数化成分数来计算,要根据具体情况分析,选择简便的计算方法。

第五单元 数据处理

三种统计图:

条形统计图(表示各个量的多少)

折线统计图(表示数量多少、反映增减变化)

扇形统计图(表示部分与整体的关系)。

一、绘制条形统计图(主要是用于比较数量大小)

1、写出统计图的标题,在上方的右侧表明制图日期。

2、确定横轴、纵轴。

3、在横轴上适当分配条形的位置,确定条形的宽度和间隔。(直条的宽窄要一致,间隔也要一致,单位长度要统一)

4、纵轴上确定单位长度。确定单位长度所代表的量要根据最大和最小的来综合考虑。

5、根据数据的大小画出长短不同的直条。

6、给直条图形不同的颜色(或底纹),并在统计图右上角注明图例。

二、关于复试条形统计图

1、制作复试条形统计图与单式条形统计图的制作方法相同。只是在每组数据中各量要用颜色或底纹区分。

2、复试条形统计图---直条的宽窄要一致,间隔要一致,单位长度要统一。

3、运用横向、纵向、综合、对比等不同方法观察,可以读懂复试条形统计图,从中获取尽可能多的信息。

4、复试条形统计图有纵向和横向两种画法。

三、绘制复试折线统计图(不仅可以比较大小,还可以比较数量变化的快慢)

a、只有一条折线的折线统计图叫做单式折线统计图。

b、用不同的折线表示不同的数量变化情况的折线统计图叫做复试折线统计图。

考点:三种单式统计图和两种复式统计图。

1、三种统计图:条形统计图表示数量的多少、 折线统计图表示数量多少、反映增减变化、扇形统计图表示部分与整体的关系。

2、复式条形统计图:用两种不同的条形来分别表示不同的类型。复式折线统计图:用两条不同的线来表示,一条用实线,另一条用虚线。

3、反映某城市一天气温变化,最好用折线统计图,反映某校六年级各班的人数,用( 条形 )统计图比较好,反映笑笑家食品支出占全部支出的多少,最好用扇形统计图。

第六单元 比的认识

(一)比的基本概念

1.两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。

2.比值通常用分数、小数和整数表示。

3.比的后项不能为0。

4.同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商;

5.根据分数与除法的关系,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于分数的值。

6.比的基本性质:比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数(0除外),比值不变。

(二)求比值

1、求比值:用比的前项除以比的后项

(三)化简比

1、化简比:用比的前项除以比的后项求出分数的比值后,在把分数比值改成比。

(四)比的应用

1、比的第一种应用:已知两个或几个数量的和,这两个或几个数量的比,求这两个或这几个数量是多少?

例如:六年级有60人,男女生的人数比是5:7,男女生各有多少人?

题目解析:60人就是男女生人数的和。

解题思路:第一步求每份:60÷(5+7)=5人

第二步求男女生:男生:5×5=25人 女生:5×7=35人。

2、比的第二种应用:已知一个数量是多少,两个或几个数的比,求另外几个数量是多少?

例如:六年级有男生25人,男女生的比是5:7,求女生有多少人?全班共有多少人?

题目解析:“男生25人”就是其中的一个数量。

解题思路:第一步求每份:25÷5=5人

第二步求女生: 女生:5×7=35人。全班:25+35=60人

3、比的第三种应用:已知两个数量的差,两个或几个数的比,求这两个或这几个数量是多少?

例如:六年级的男生比女生多20人(或女生比男生少20人),男女生的比是7:5,男女生各有多少人?全班共有多少人?

4、要求量=已知量×要求量份数/已知量份数

5、比在几何里的运用:

(1)已知长方形的周长,长和宽的比是a:b。求长和宽、面积。

长=周长÷2×a/(a+b)

宽=周长÷2×b/(a+b) 

面积=长×宽

(2)已知已知长方体的棱长和,长、宽、高的比是a:b:c。求长、宽、高、体积

长=周长÷4×a/(a+b+c)

宽=周长÷4×b/(a+b+c)

高=周长÷4×c/(a+b+c)

体积=长×宽×高

(3)已知三角形三个角的比是a:b:c,求三个内角的度数。

三个角分别为:

180×a/(a+b+c)

180×b/(a+b+c)

180×c/(a+b+c)

(4)已知三角形的周长,三条边的长度比是a:b:c,求三条边的长度。

三条边分别为:

周长×a/(a+b+c)

周长×b/(a+b+c)

周长×c/(a+b+c)

第七单元 百分数的应用

一、百分数的基本概念

1.百分数的定义:表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。

百分数表示两个数之间的比率关系,不表示具体的数量,所以百分数不能带单位。

2.百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。

例如:25%的意义:表示一个数是另一个数的25%。

3.百分数通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。分子部分可为小数、整数,可以大于100,小于100或等于100。

4.小数与百分数互化的规则:

把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号;

把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。

5.百分数与分数互化的规则:

把分数化成百分数,通常先把分数化成小数(除不尽的保留三位小数),再把小数化成百分数;

把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。

二、百分数应用题(一)

四个公式: 

 

两个公式:

①增加量(减少量)=原来的量×增加的百分数(减少的百分数)

②现在的量=原来的量±增加量(减少量)

求增加百分之几?减少百分之几?

公式:

增加百分之几=增加的部分÷单位1

减少百分之几=减少的部分÷单位1

例如:

1、45立方厘米的水结成冰后,冰的体积为50立方厘米,冰的体积比原来水的体积增加百分之几?

解题思路:根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1,先确定单位1是水,已经知道是45:增加的部分不知道,可以利用50减45求得5;最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。

计算步骤:第一步:单位1:水:45立方厘米

第二步:增加的部分:5045=5立方厘米

第三步:增加百分之几:5÷45=11.1%

2、45立方厘米的水结成冰后,体积增加了5立方厘米,冰的体积比原来水的体积增加百分之几?

解题思路:根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1,先确定单位1是水,已经知道是45:增加的部分是5立方厘米;最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。

计算步骤:第一步:单位1:水:45立方厘米

第二步:增加的部分:5立方厘米

第三步:增加百分之几:5÷45=11.1%

3、水结成冰后,体积增加了5立方厘米,冰的体积为50立方厘米,冰的体积比原来水的体积增加百分之几?

解题思路:根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1,先确定单位1是水,不知道但可以根据题目“水结成冰后,体积增加了5立方厘米”知道水是少的,冰是多的,所以可以用505求出水是45立方厘米。加的部分是5立方厘米;;最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。

计算步骤:第一步:单位1:水:505=45立方厘米

第二步:增加的部分:5立方厘米

第三步:增加百分之几:5÷45=11.1%

4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。

5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”“增长百分之几“等。

与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分几”等。

三、百分数应用题(二)

比一个数增加百分之几的数,比一个数减少百分之几的数。

例如

1、矣得小学去年有80名学生,今年的学生人数比去年增加了25%,今年有多少名学生?

解题思路:单位1去年已经知道用乘法,增加用(1+25%)

算式:80×(1+25%)

2、矣得小学去年有80名学生,今年的学生人数比去年减少了25%,今年有多少名学生?

解题思路:单位1去年已经知道用乘法,减少用(1-25%)

算式:80×(1-25%)

3、矣得小学今年有100名学生,比去年增加了25%,去年有多少名学生?

解题思路:单位1去年不知道用除法,增加用(1+25%)

算式:100÷(1+25%)

4、矣得小学今年有100名学生,比去年减少了25%,去年有多少名学生?

解题思路:单位1去年不知道用除法,增加用(1-25%)

算式:100÷(1-25%)

四、百分数应用题(三)

列方程解百分数应用题

1、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,第一天比第二天多看20页,这本书一共有多少页?

解题思路:单位1一本书不知道,可以选用方程或除法来解答。

根据“第一天比第二天多看20页”可以知道第一天是多的,第二天是少的,第一天减去第二天等于多出的20页。

等量关系式:第一天第二天=20页

方法1:解:设这本书一共有X页。

由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%,用X可以表示为25%X,由“第二天看了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%,用X可以表示为20%X.依据等量关系式“第一天第二天=20页”可以列方程为:25%X20%X=20

方法2:“第一天比第二天多看20页”可以知道20页是第一天和第二天的差。要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。

列算式为:20÷(25%20%)

2、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,两天共看了20页,这本书一共有多少页?

等量关系式:由“两天共看了20页”可以知道第一天+等二天=20页。

方程法:解:设这本书共有X页,则第一天为25%X,第二天为20%X。

方程列为:25%X+20%X=20

算术法:由“两天共看了20页”可以知道20页是第一天和第二天的和,要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。

列算式为:20÷(25%+20%)

3、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,还剩20页,这本书一共有多少页?

等量关系式:一本书第一天第二天=20页

方程法:解设这本书一共有X页,则第一天为25%X,第二天为20%X。

列方程为:X25%X20%X=20

算术法:20÷(1- 25%X-20%)

4、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天比第一天多看10页,还剩20页,这本书一共有多少页?

方程法:解设这本书一共有X页,则第一天为25%X,第二天为(25%X+10)页。

列方程为:X25%X(25%X+10)=20

五、百分数应用题(四)利息的计算

1.本金:存入银行的钱叫做本金。

2.利息:取款时银行多支付的钱叫做利息。

利息=本金×利率×时间

3.2008年10月9日以前国家规定,存款的利息要按20%的税率纳税。国债的利息不纳税。2008年10月9日以后免收利息税。所以如无特殊说明,就不在计算利息税。

4.利率:利息与本金的比值叫做利率。

5.银行存款税后利息的计算公式:

税后利息=利息×(1-20%)

6.国债利息的计算公式:利息=本金×利率×时间

7.本息:本金与利息的总和叫做本息。

8.应纳税额:缴纳的税款叫应纳税额。

9.税率:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

10.应纳税额的计算:应纳税额=各种收入×税率

例如:李老师把2000元钱存入银行,整存整取五年,年利率按4.14%计算,到期时,李老师的本金和利息共有多少元?

解题思路:要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。

解题步骤:第一步:根据“利息=本金×利率×时间”算利息

利息:2000×4.14%×5=414元

第二步:本金+利息:2000+414=2414元。

例如:李老师把2000元钱存入银行,整存整取五年,年利率按4.14%计算,到期时,李老师的本金和利息共有多少元?(如果利息按20%来上税)

解题思路:要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。

解题步骤:第一步:根据“利息=本金×利率×时间”算利息

利息:2000×4.14%×5=414元

第二步:算税后利息:414×(120%)=331.2元

本金+利息:2000+331.2=233.2元。

补充知识点

几何形体周长、面积计算公式

1、长方形的周长=(长+宽)×2

C=(a+b)×2

2、正方形的周长=边长×4

C=4a

3、长方形的面积=长×宽

S=ab

4、正方形的面积=边长×边长

S=a.a= a2

5、三角形的面积=底×高÷2

S=ah÷2

6、平行四边形的面积=底×高

S=ah

7、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2

S=(a+b)h÷2

8、直径=半径×2 d=2r

半径=直径÷2 r= d÷2

9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2

C=πd=2πr

10、圆的面积=圆周率×半径×半径

S=πr 

常见的量

1、长度单位换算

1千米=1000米 1米=10分米

1分米=10厘米 1米=100厘米

1厘米=10毫米

2、面积单位换算

1平方千米=100公顷

1公顷=10000平方米

1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

1平方厘米=100平方毫米

3、质量单位换算

1千克=1000克 1克=1000毫克

1千克=1公斤=2市斤

4、时间单位换算

1昼夜=1天=24时

1时=60分 1分=60秒

第二部分人教版1-6年级数学上册知识点汇总

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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